Escribiendo soluciones


Escribiendo soluciones a problemas de matemáticas.

Descubriste la solución al problema. ¡Fantástico! Pero no has terminado ahí. Ya sea que estés escribiendo soluciones para una competencia, una revista, un tablón de anuncios, o simplemente para lucirte con tus amigos, debes dominar el arte de la comunicación de tu solución de forma clara. Ideas brillantes y soluciones innovadoras a los problemas son bastante inútiles si no puedes comunicarlas.

Al leer soluciones, es posible que algunas de ellas te parezcan sobrescritas. De hecho, algunas podrían estar condensadas. Algunos pasos que elegimos para probar probablemente podrían citar sin pruebas. Sin embargo, es mucho mejor probar de más y con claridad. Es raro que un lector se queje de que una solución es muy fácil de entender o demasiado fácil de leer.


Haz un plan

Tu objetivo al escribir una solución clara es prevenir al lector de tener que pensar. Debes expresar tus ideas de manera clara y concisa. El lector experimentado nunca debería tener que preguntarse hacia dónde te diriges, o por qué algo que escribiste es necesariamente cierto. El primer paso para escribir una solución clara es tener un plan. Hacer un esquema simple de tu solución. Incluye los conceptos que necesitarás para definir, y el orden en que vas a escribir las partes importantes de tu solución. El esquema ayudará a asegurar que no te saltes nada y que pones tus pasos en un orden que es fácil de seguir.

[_su_note note_color=#DDFFDD text_color=”#000000″ radius=”3″ class=””]Una esfera de radio r está inscrita en un tetraedro. Planos tangentes a esta esfera y paralelos a las caras del tetraedro cortan cuatro pequeños tetraedros del tetraedro principal; estos pequeños tetraedros tienen esferas inscritas de radio a, b, c, d respectivamente. Demuestre que: a + b + c + d = 2r.[_/su_note]

Una solución que parece corta, pero en realidad es bastante difícil de leer:

[_su_note note_color=#DDDDFF text_color=”#000000″]

Sea ABCD nuestro tetraedro. El pequeño tetraedro que incluye el vértice A es similar al grande. Dado que la cara de este tetraedro paralela a la cara BCD es tangente a la esfera inscrita en ABCD, la distancia entre BCD y esta cara paralela del tetraedro pequeño tetraedro es 2r.

Vamos a llamar AXYZ a ese tetraedro pequeño.

Por lo tanto, la altura desde A en AXYZ es h_a - 2r, donde h_a es la longitud de la altura desde A a la cara BCD.

Por lo tanto la relación entre las alturas de A a AXYZ y de A a ABCD es \dfrac{h_a - 2r}{h_a}.

Dado que estos dos tetraedros son similares con relación \dfrac{a}{r} (ya que es la relación de las longitudes correspondientes, es decir, los radios de las esferas inscritas) tenemos \dfrac{a}{r} = \dfrac{h_a - 2r}{h_a}.

El volumen del tetraedro es [A] \dfrac{h_a}{3}, donde [A] es el área del triánguloBCD.

El volumen del tetraedro también puede ser escrito como \dfrac{rS}{3}, donde S es el área superficial de ABCD.

Podemos demostrar esto diciendo que I es el centro de la esfera inscrita. Por lo tanto, el volumen del tetraedro es la suma de los volúmenes de los tetraedros IABC, IABD, IACD y IBCD.

El volumen de IABC es \dfrac{r[D]}{3}, donde [D] se define como definimos [A] anteriormente. Del mismo modo podemos encontrar los volúmenes de las otras 4 piezas. Sumamos todo y obtenemos:

Volumen de ABCD = \left([A] + [B] + [C] + [D]\right)\dfrac{r}{3} = \dfrac{rS}{3}.

Igualamos con la otra expresión de volumen obtenemos h_a = \dfrac{rS}{[A]}. Si reorganizamos nuestra ecuación de arriba, tenemos a = r - \dfrac{2R^2}{h_a}.

Podemos poner en la expresión de h_a que acabamos de encontrar para obtener:

a = r - \dfrac{2r [A] }{S}

Si definimos [B], [C] y [D] al igual que hemos definido [A], podemos utilizar el mismo argumento para obtener:

b = r -\dfrac{2r [B] }{S}

c = r -\dfrac{2r [C] }{S}

d = r -\dfrac{2r [D] }{S}

Sumando todo obtenemos:

a + b + c + d = 4r - \dfrac{2r ([A] + [B] + [C] + [D])}{S} = 2r,

como se pedía.[_/su_note]

El principal problema con la solución anterior es la organización. Definimos las variables después de que aparecieron. A mitad de la solución nos desviamos para demostrar el volumen de ABCD es R / 3. A veces escribimos ecuaciones importantes justo en nuestros párrafos en vez de destacar dándoles sus propias líneas.

Si describimos antes de escribir la solución, no tendremos estos problemas. Podemos enumerar lo que necesitamos para definir, decidir qué elementos tenemos que demostrar antes de nuestra prueba principal (llamamos a estos lemas), y la lista de los pasos importantes por lo que sabemos qué destacar.

Nuestra hoja de borrador puede contener el siguiente esquema:

[_su_box title=Esquema]

[_su_row]

[_su_column size=”1/2″]Cosas para definir:

  • ABCD,
  • h_a,
  • S,
  • [A],
  • AXYZ.
[_/su_column] [_su_column size=”1/2″]Orden de las cosas a probar:

  1. Volumen ABCD = \dfrac{rS}{3} (lemma)
  2. Demostrar que la altura AXYZ = h_a - 2 r
  3. Utilice similitudes para obtener a = r - \dfrac{2 r^2}{h_a}
  4. Igualar volúmenes para obtener\dfrac{1}{h_a} = \dfrac{A}{rS}
  5. Restar (4) de (3) y sumar
[_/su_column] [_/su_row] [_/su_box]

Esta lista parece bastante obvia una vez que la has escrito. Pero si te enfrentas al problema intentando hacer una solución sin planificación, puedes llegar a saltarte puntos importantes y verte forzado a tener que calzarlos a la fuerza en tu solución.

Una mejor forma de escribir la solución a este problema es la siguiente.

[_su_note note_color=”#DDDDFF” text_color=”#000000″]

Sea ABCD nuestro tetraedro original. Definimos:

[A] = área de la cara de ABCD opuesto a A.

h_a = longitud de la altura deA aBCD

S = el área de la superficie deABCD

AXYZ = uno de los pequeños tetraedros formados como se describe

Se define [B], [C], [D] y h_b, h_c, h_d de manera similar.

Lema: El volumen de ABCD tetraedro está dada por \dfrac{rS}{3}.

Demostración: Sea I el centro de la esfera inscrita.

El volumen de ABCD es la suma de los volúmenes de los tetraedros IABC, IABD, IACD, IBCD.

El volumen de IABC es \dfrac{r [D]}{3}, ya que la altura de I a ABC es un radio de la esfera inscrita en ABCD. Del mismo modo podemos encontrar los volúmenes de las otras 4 piezas.

La adición de estos cuatro tetraedros nos da:

Volumen de ABCD = \dfrac{([A] + [B] + [C] + [D]) r}{3} = \dfrac{rS}{3} como se deseaba.

Ya que la cara XYZ del tetraedro pequeño AXYZ es paralela a la cara BCD, el tetraedro AXYZ es semejante al tetraedro ABCD. La relación entre las longitudes correspondientes a estos tetraedros es igual a la relación de los radios de sus esferas inscritas, o  \dfrac{a}{r}.

Debido a que XYZ es tangente a la esfera inscrita en ABCD, la distancia entre BCD y XYZ es 2r. Por lo tanto, la altura de A a XYZ es h_a - 2r. Y por consiguiente, la relación de las alturas desde el punto A a cualquiera de los dos tetraedros es \dfrac{h_a - 2r}{h_a}. De lo que se obtiene:

\dfrac{a}{r} = \dfrac{h_a - 2r}{h_a}, o  a = r - \dfrac{2r}{h_a}.

El volumen del tetraedro es \dfrac{h_a [A]}{3}. Al igualar esta expresión con el Lema 1 se obtiene:

h_a = \dfrac{rS}{[A]},

y sustituyendo esto en la ecuación (1), obtenemos:

a = r - \dfrac{2r [A] }{S}

Por el mismo argumento, tenemos:

b = r -\dfrac{2r [B] }{S}

c = r -\dfrac{2r [C] }{S}

d = r -\dfrac{2r [D] }{S}

Sumando todo obtenemos:

a + b + c + d = 4r - \dfrac{2r ([A] + [B] + [C] + [D])}{S} = 2r,

como se deseaba.

[_/su_note]

Los lectores no son intérpretes

La primera cosa que el lector verá en su papel no es la estructura de su solución. No es la respuesta, no son las palabras que usted elija. Es la forma en la que la solución se encuentra presentada en el papel. Si el lector tiene que descifrar tus garabatos, se va a perder. Lo ideal es que escribas tu solución utilizando un programa como \LaTeX. Sin embargo, en la mayoría de Olimpiadas uno no puede darse ese lujo y vas a tener que escribir las a mano. Hay que tomar en cuenta unas cuantas reglas de oro muy importantes al momento de escribir una solución a mano. Muchas de ellos son evidentes, algunas no tanto. Aún así deberías seguirlas todas.

  1. Utiliza papel en blanco. No utilices hojas cuadriculadas o rayadas. Las líneas a menudo hacen que las soluciones sean más difícil de leer. Nunca utilice hojas de papel arrancadas de un cuaderno de espiral.
  2. Respeta los márgenes. En tu hoja en blanco dibuja los márgenes en los cuatro lados (superior, inferior, derecha, izquierda). Haz márgenes de al menos 1 cm, de preferencia 2 cm.
  3. Escribe horizontalmente. Nunca tuerzas ni desvíes tu escritura al llegar al final de una línea con el fin de incluir en un poco más de información. Siempre puedes empezar en una nueva línea o una nueva página.
  4. Deja espacio en la parte superior para numerar tus páginas. Escribe "Página _ de _" para que el lector sepa cuántas páginas hay y en que página está. Es probable que no sepas cuántas páginas que vas a escribir cuando se inicia, pero puedes llenarlo cuando hayas terminado. Si se llega a la parte inferior de una página y su solución debe continuar en otra página, escribe "Continua" en la parte inferior de la página para que el lector sepa que no hemos terminado. (Esto también ayuda a los lectores a saber si faltan páginas adicionales.)
  5. No escribas en letra cursiva. Utiliza siempre letra de tipo imprenta lo más clara y legible posible.
  6. Utiliza bolígrafo o pluma. Si tienes que usar lápiz, no borres. Las manchas son un desastre.
  7. Si comete un error y deseas omitirlo, dibuja una sola línea a través de él y continúa escribiendo. Si se trata de un gran bloque que quieres eliminar, dibuja una "X" sobre el mismo y continúa. No garabatees ni taches grandes bloques de texto.
  8. Si dejó algo pendiente y deseas añadirlo al final, pon un símbolo sencillo, como un (*) en el punto donde desea que el nuevo texto sea considerado como añadido y deja una nota breve, como "Demostración al final." Luego, al final, puedes escribir "(*) adicional" y proceder con la demostración o lo que tenías pendiente. No utilices flechas para dirigir al lector por toda la página.

Considere el siguiente problema.

[_su_note note_color=#DDFFDD text_color="#000000" radius="3" class=""]

Sea S(n) la suma de los dígitos de n. Encuentre:

S(S(S(4444^{4444}))) [_/su_note]

A continuación se presentan dos soluciones. Ninguna de las soluciones tiene una presentación impecable; cuando se está bajo presión de tiempo, es difícil escribir demostraciones de apariencia perfecta. Encontrarás la segunda mucho más agradable de leer. Cuando estés escribiendo soluciones ten presente los consejos anteriores, y sólo recuerda, "Si no pueden leerlo, no está bien. "

No
[_su_note note_color=#DDDDFF text_color=”#000000″ radius=”3″ class=””]

bad1bad2

[_/su_note]

Esa solución anterior es un desastre. La de abajo fue escrita en la misma cantidad de tiempo, y es mucho más fácil de leer.

[_su_note note_color=#FFFFFF text_color=”#000000″ radius=”3″ class=””]

good1good2

[_/su_note]

Usa bien el espacio disponible

Cuando escribas tu solución ten presente lo siguiente:

  1. A cada ecuación o definición importante asigne su propia línea. No amontone las cosas.
  2. No meta demasiada álgebra en un párrafo. Puedes escribir líneas tras líneas de álgebra, pero pon a cada paso en su propia línea. El álgebra se escribe por líneas y no por párrafos.
  3. Etiqueta con claridad las ecuaciones, fórmulas, lemas o casos que vas a utilizar más adelante.
  4. Recuerda que siempre hay más papel.

Considere el siguiente problema.

[_su_note note_color=#DDFFDD text_color="#000000" radius="3" class=""]

Sea P(x) un polinomio de grado 98 tal que p(n) = \dfrac{1}{n} para n = 1, 2, 3, . . ., 99. Determinar:

p(100) [_/su_note]

No
[_su_note note_color=#DDDDFF text_color=”#000000″ radius=”3″ class=””]

Sea r(x) = x (p(x) - \dfrac{1}{x}) = x p (x) - 1. Como p(x) es un polinomio de grado 98, r(x) es un polinomio de grado 99. Puesto que r(x) = x (p (x) - \dfrac{1}{x}), y se nos da que p (x ) - \dfrac{1}{x} = 0 para x = 1, 2, 3, . . . , 99r(x) tiene como raíces 1, 2,. . . , 99.

Puesto que r(x)=x tiene grado 99, estas son las únicas raíces de r(x), que debe por lo tanto tener la forma: r(x) = c (x - 1) (x - 2) (x - 3) . . . (x - 99) para alguna constante c. Para encontrar c, primero hacemos que x=0 en la ecuación r(x)=xp(x)-1, obteniéndose que r(0) = -1. Haciendo x=0 en r(x) = c (x - 1) (x - 2) (x - 3) . . . (x - 99) se obtiene r (0) = -c (99!); Por lo tanto, c = \dfrac{1}{99!}. Por lo tanto, tenemos r (x) = \dfrac{(x - 1) (x - 2) (x - 3). . . (x - 99)}{99!}

Podemos combinar las ecuaciones r(x) = x p(x) -1 y r (x) = \dfrac{(x - 1) (x - 2) (x - 3). . . (x - 99)}{99!} y hacer x=100 para encontrar  100p(100) - 1 = \dfrac{(100 - 1) (100 - 2) (100 - 3). . . (100 - 99) }{ 99!}. Por lo tanto  100p(100) - 1 = \dfrac{99!}{99!} = 1. Por lo tanto  p (100) = 1/50.

[_/su_note]

Esa solución anterior es un desastre. La de abajo fue escrita en la misma cantidad de tiempo, y es mucho más fácil de leer.

[_su_note note_color=#FFFFFF text_color=”#000000″ radius=”3″ class=””]

Sea

r(x) = x (p(x) - \dfrac{1}{x}) = x p (x) - 1.

Dado que p(x) es un polinomio de grado 98, r(x) es un polinomio de grado 99. Puesto que r(x) = x (p (x) - \dfrac{1}{x}), y se nos da que p (x ) - \dfrac{1}{x} = 0 para x = 1, 2, 3, . . . , 99.

r(x) tiene como raíces 1, 2,. . . , 99.

Puesto que r(x)=x tiene grado 99, estas son las únicas raíces de r(x), que debe por lo tanto tener la forma:

r(x) = c (x - 1) (x - 2) (x - 3) . . . (x - 99)

para alguna constante c.

Para encontrar c, primero hacemos que x=0 en la ecuación r(x)=xp(x)-1, obteniéndose que r(0) = -1.

Haciendo x=0 en r(x) = c (x - 1) (x - 2) (x - 3) . . . (x - 99) se obtiene r (0) = -c (99!);

Luego, c = \dfrac{1}{99!}. Por ende, tenemos

r (x) = \dfrac{(x - 1) (x - 2) (x - 3). . . (x - 99)}{99!}

Podemos combinar las ecuaciones r(x) = x p(x) -1 y r (x) = \dfrac{(x - 1) (x - 2) (x - 3). . . (x - 99)}{99!} y hacer x=100 para encontrar:

 100p(100) - 1 = \dfrac{(100 - 1) (100 - 2) (100 - 3). . . (100 - 99) }{ 99!}

 100p(100) - 1 = \dfrac{99!}{99!} = 1

 p (100) = 1/50.

[_/su_note]

Piensa hacia atrás, escribe hacia adelante

El siguiente es un extracto de un libro de cocina que nunca fue escrito:

"Averiguar cómo hacer un omelette o tortilla de huevo es fácil. Cualquiera que haya comido una sabe que se hace, típicamente, con varios huevos rellenos de diversos alimentos como el jamón, pimientos, cebollas, tocino y a menudo se cocina con queso. El hecho que todos estos ingredientes terminan dentro de la tortilla significa que debemos comenzar a cocinar los huevos en una sartén plana y luego añadir los ingredientes. Podemos echar parte del huevo sobre los ingredientes con el fin de hacer una mezcla homogénea que los atrape en el interior. Si necesitamos que alguno de los ingredientes esté pre-cocido, podríamos hacerlo antes de agregarlos al omelette."

Una cosa es averiguar cómo hacer una tortilla y otra muy diferente es explicar a otra persona el proceso de preparación. Empezar a explicar desde el principio es mucho más claro que a partir del producto terminado.

"Preparar las verduras y otros rellenos de tortilla deseados. Batir los huevos. Comenzar a cocinar los huevos. Añadir los rellenos en el medio de manera que parte del huevo se pueda mezclar sobre los ingredientes. Cuando la tortilla esté cerrada, continuar la cocción y voltear la tortilla hasta los huevos se ven bien cocidos ".

Al lector no le importa cómo hizo el autor para averiguar el proceso de cocción el proceso de cocinar una tortilla. El lector sólo quiere saber cómo hacer una tortilla.

Piensa tus soluciones como recetas. Comienza por el principio y sigue adelante. Haz una lista de ingredientes y explica cómo y cuándo agregarlos a la olla.

Considere el siguiente problema.

[_su_note note_color=#DDFFDD text_color="#000000" radius="3" class=""]

Sean a, b, c las longitudes de los lados de un triángulo. Demuestre que:

a^2(-a + b + c) + b^2(a - b + c) + c^2(a + b - c) \leq 3abc [_/su_note]

La siguiente es una buena manera de ver cómo podemos llegar a una solución a partir de cero, pero que lastimosamente no está redactada de manera adecuada.

No
[_su_note note_color=#DDDDFF text_color=”#000000″ radius=”3″ class=””]

Observamos que la desigualdad contiene los factores (-a + b + c), (a - b + c),(a + b - c). Estos factores apuntan a la utilización de la desigualdad triangular por lo que parece natural dejar los factores así como están e invocar el hecho de que cada uno es no negativo.

Como cada uno de estos tres factores se multiplica por el cuadrado de la longitud de un lado, puede ser que sea posible convertir la desigualdad en algo relacionado con estos factores no negativos de desigualdad del triángulo multiplicado por cuadrados perfectos. Entonces podríamos argumentar que esta suma también debe ser no negativa. Comenzamos moviendo 3abc a la izquierda:

a^2(-a + b + c) + b^2(a - b + c) + c^2(a + b - c) - 3abc \leq 0.

Si vemos a 3abc como la suma de 3 términos que son cada uno el producto de ab, ac, o ca y uno de los factores de la desigualdad del triángulo, empezamos a tener una idea de cómo la desigualdad puede ser reorganizada. Dado que la desigualdad es cíclica, parece natural tomar estos productos de una manera que preserve la naturaleza cíclica. Por ejemplo, multiplicamos ab por (a + b - c), ya que a y b tienen el mismo signo de (a + b - c):

ab (a + b - c) = a^2b + ab^2 - abc \geq 0,

bc (-a + b + c) = -abc + b^2C + bc^2 \geq 0,

ca (a - b + c) = a^2c - abc + ac^2 \geq.

Vemos a -3abc en la suma de estos productos. Revisando los demás términos de ab (a + b - c) = a^2b + ab^2 - abc, nos damos cuenta de que a^2b + ab^2 son factores que podrían salirse de (a - b)^2 (a + b - c). Expandiendo los cuadrados de expresiones como (a - b)^2 (a + b - c) obtenemos:

(a - b)^2 (a + b - c) = a^2 (a + b - c) - 2ab (a + b - c) + b^2 (a + b - c) \geq 0,

(b - c)^2 (-a + b + c) = b^2 (-a + b + c) - 2bc (-a + b + c) + c^2 (-a + b + c) \geq 0,

(c - a)^2 (a - b + c) = c^2 (a - b + c) - 2ca (a - b + c) + a^2 (a - b + c) \geq 0.

Sumándolas comenzamos a ver que la desigualdad tomar forma:

a^2 (a + b - c + a - b + c) + b^2 (a + b - c - a + b + c) + c^2 (-a + b + c + a - b + c) +

- 2a^2b - 2ab^2 + 2abc + 2abc - 2b^2c - 2bc^2 - a^2c + abc - ac^2 =

a^2 (2a - 2b - 2c) + b^2 (2a + 2b - 2c) + c^2 (2a - 2b + 2c) + 6abc \geq 0.

Multiplicando esta desigualdad por -\dfrac{1}{2} se invierte el signo y nos queda

a^2 (-a + b + c) + b^2 (a - b + c) + c^2 (a + b - c) - 3abc \leq 0.

Sumamos 3abc a ambos lados y nos da

a^2 (-a + b + c) + b^2 (a - b + c) + c^2 (a + b - c) \leq 3abc

y hemos terminado.

[_/su_note]

El estilo "receta de cocina" es más fácil de leer y mucho más convincente.

[_su_note note_color=#FFFFFF text_color=”#000000″ radius=”3″ class=””]

De acuerdo con la desigualdad triangular, la suma de cualquiera de los dos lados de un triángulo es al menos tan grande como la longitud de la tercera parte. Por lo tanto, tenemos las desigualdades

a - b - c \leq 0,

b - c - a \leq 0,

c - a - b \leq 0.

Multiplicándolas por cuadrados perfectos convierte al lado izquierdo en no-positivo, por lo que:

(b - c)^2 (a - b - c)\leq 0,

(c - a)^2 (b - c - a)\leq 0,

(a - b)^2 (c - a - b) \leq 0,

o

(b^2 - 2bc + c^2) (a - b - c)\leq 0,

(c^2 - 2ac + a^2) (b - c - a)\leq 0,

(a^2 - 2ab + b^2) (c - a - b)\leq 0,

Sumamos y se obtiene:

a^2 (b - c - a + c - a - b) + b^2 (a - b - c + c - a - b) + c^2 (a - b - c + b - c - a) -

- 2bc (a - b - c) - 2ca (b - c - a) - 2ab (c - a - b) =

= 2a^2 (-a + b + c) + 2b^2 (a - b + c) + 2C^2 (a + b - c) - 6abc \leq 0.

Sumamos 6abc a ambos lados, dividimos para 2 y obtenemos:

a^2 (-a + b + c) + b^2 (a - b + c) + c^2 (a + b - c) \leq 2abc.

[_/su_note]

Asigna nombre a tus personajes

Las demostraciones se parecen mucho a las historias. Al escribir una solución, tu trabajo consiste en contar una historia de matemáticas de manera que tus lectores la entiendan y disfruten. Una solución bien escrita implica a menudo nombrar cantidades importantes de ideas que juegan un papel en la historia de su solución. Asignar nombres a los personajes también puede ayudarte a encontrar soluciones a los problemas, así que no debes esperar al final de la prueba para hacerlo.

Cuando nombres a tus personajes, hazlo de manera simple, clara, y al inicio de la demostración. De tal manera que el lector sabrá exactamente a dónde ir para saber quién es esta persona N o lo que la función f(x) representa.

Considere el siguiente problema:

[_su_note note_color=#DDFFDD text_color="#000000" radius="3" class=""]

Demostrar que para cualquier conjunto de 100 números enteros existe al menos un subconjunto de tal manera que la suma de sus elementos es un múltiplo de 100.

[_/su_note]

La solución a continuación es difícil de leer porque los números enteros y las sumas que son la clave para la solución permanecen en el anonimato.

No
[_su_note note_color=#DDDDFF text_color=”#000000″ radius=”3″ class=””]

Supongamos que ponemos los números de nuestro conjunto en un orden fijo. Si empezamos desde el principio, hay 100 sumas que podemos hacer a partir del número inicial. Podríamos sumar los primeros 2 números, o los primeros 4, los primeros 57, o los que sean. Si una de estas sumas es un múltiplo de 100, entonces hemos terminado. Si ninguna de las sumas es un múltiplo de 100, entonces hay que considerar el residuo cuando cada uno de estos términos se divide para 100. Hay 100 residuos totales, ya que hay 100 sumas. Dado que ninguno de ellos es 0, hay como máximo 99 residuos diferentes entre estos 100. Por lo tanto, al menos dos de estos residuos deben ser el mismo, ya que si no habrían al menos dos iguales, sólo pudieran haber 99 residuos en total (ya que sabemos que ninguno es cero). Ahora, tomemos la diferencia entre dos sumas que tengan el mismo residuo cuando se divide entre 100. Esta diferencia debe tener un residuo 0 cuando se divide para 100. Supongamos que restamos la suma con menos números de la suma que tiene más números. Cuando hacemos esta resta, todos los números en la segunda suma se cancelan con los números en la primera suma, debido a que cada suma es simplemente añadir números en nuestro conjunto comenzando con el primera, pero la segunda suma es más corta. Debido a esta cancelación, la diferencia de estas dos sumas que tienen el mismo residuo cuando se divide para 100, resulta en una suma de los números del conjunto original. Hemos demostrado que esta diferencia tiene un resto 0 cuando se divide por 100, por lo tanto esta es nuestra suma de números del conjunto que es divisible para 100.

[_/su_note]

La solución a continuación es fácil de leer porque los personajes principales tienen nombres. En concreto, nombramos a los números enteros del conjunto y a las sumas de los elementos en subconjuntos que examinemos. Estos nombres nos permiten seguir a los personajes a lo largo de la historia. También permiten que el escritor para describir sus personajes de manera más completa y sucinta.

[_su_note note_color=#FFFFFF text_color=”#000000″ radius=”3″ class=””]

Llamemos  n_1, n_2, n_3, . . ., n_{100} a los 100 enteros.

Sea S_k = n_1 + n_2 + ... + n_k para k = 1, 2, ..., 100.

Caso 1:

Si S_1, S_2, . . ., S_{100} son todos distintos (\mod{100}), entonces, exactamente uno de ellos es un múltiplo de 100.

Caso 2:

De lo contrario, si las 100 sumas, S_k, tienen como máximo 99 residuos distintos (\mod{100}), por el principio de las casillas dos de las sumas, S_k, tienen el mismo residuo (\mod{100}).

Significa entonces que existen algunos enteros j y k, 0<j<k<101, tal que:

S_k \equiv S_j (\mod{100});

entonces,

S_k - S_j \equiv 0 (\mod{100}).

Ahora, consideremos el subconjunto con los elementos n_{j+1}, n_{j+2}, . . ., n_k. La suma de los elementos de este subconjunto es:

n_{j+1}+n_{j+2}+ . . . + n_k = (n_1 + n_2 + . . . + n_k) - (n_1 + n_2 + . . . + n_j)

= S_k - S_j \equiv 0 (\mod{100}).

Esta suma es múltiplo de 100.

[_/su_note]

Una imagen vale más que mil palabras

Cuando se está escribiendo una solución a un problema de geometría, o cualquier problema que involucra una imagen, se debe incluir el diagrama. Si no incluyes el diagrama, harás que el lector lo dibuje por ti para poder entenderte. Incluso si el diagrama viene dibujado en el problema, se debe incluir también en la solución. Si haces que el lector vaya a buscar tu diagrama a otro lugar, es muy probable que pierdas su atención.

Dibuje tu diagrama con la mayor precisión posible. Utiliza un programa de geometría en caso de escribir la solución en computadora o una regla y un compás si estás escribiendo tu solución a mano.

Veamos un ejemplo.

[_su_note note_color=#DDFFDD text_color="#000000" radius="3" class=""]

Se coloca un punto D sobre el lado BC del triángulo ABC. Se inscriben dos círculos en ABD y ACD respectivamente. La tangente exterior común de estos círculos (que no sea BC) intersecta a AD en K. Demostrar que la longitud de AK es independiente de D.

[_/su_note]

Veamos dos soluciones, la primera sin diagrama.

Sin
[_su_note note_color=#DDDDFF text_color=”#000000″ radius=”3″ class=””]

Sean O y O’ nuestros círculos. Sean M y M’ dos puntos en O y O’ respectivamente tal que MM’ es la tangente común que pasa por K. Sean L y L’ los puntos donde AD corta con O y O’ respectivamente. Sean N y N’ los puntos donde BC corta con O y O’, respectivamente.

Vamos a demostrar que AK = (AB + AC – BC) / 2, por ende probar que la longitud de AK es independiente de D.

Dado que las tangentes desde un punto a un círculo son iguales, tenemos tanto DN = DL como DN’= DL’. Por ende,

NN’ = DN + DN’ = DL + DL’ = 2DL + LL’

Del mismo modo, tenemos

MM’ = KM + KM’ = KL + KL’= 2KL’ + LL’

Ya que MM ‘= NN’ por simetría, se concluye que KL = DL. Por lo tanto,

MM’ = NN’ = DL + LL’ + KL’ = KD

Podemos calcular NN ‘, y por lo tanto KD, en términos de AD y los lados del triángulo:

DN = (AB + AD + BD) / 2 – AB

DN ‘= (AC + DC + CD) / 2 – AC

Entonces,

NN’= DN + DN’ = AD + BC/2 – AC/2 – AB/2.

Como NN’= KD, tenemos

AD – KD = AK = (AB + AC – AC) / 2,

como se deseeaba. Puesto que A, B, y C son independientes de D, llegamos a la conclusión de que la longitud AK es independiente de D.

[_/su_note]

En nuestra solución anterior, se utilizó el hecho de que la longitud de los segmentos desde un vértice de un triángulo (como el vértice D del triángulo ABD) hacia los puntos de tangencia del círculo inscrito con los lados del triángulo de ese vértice (segmentos DN y DL) es igual a la mitad del perímetro del triángulo menos el lado opuesto del triángulo.

La aplicación de este principio para encontrar la longitud de DN en el triángulo ABD nos da:

DN = \dfrac{(AB + AD + BD)}{2} - AB

Si no estás familiarizado con este principio, trata de demostrarlo por tu cuenta (escribiendo una buena solución). Todo buen geómetra recurre a este enunciado con la misma facilidad que utiliza el Teorema de Pitágoras.

Con
[_su_note note_color=#FFFFFF text_color=”#000000″ radius=”3″ class=””]

geompic2

Sean O y O' nuestros círculos. Sean M y M' dos puntos en O y O' respectivamente tal que MM' es la tangente común que pasa por K.

Sean L y L' los puntos donde AD corta con O y O' respectivamente.

Sean N y N' los puntos donde BC corta con O y O', respectivamente.

Vamos a demostrar que AK = \dfrac{(AB + AC - BC)}{2}, por ende probar que la longitud de AK es independiente de D.

Dado que las tangentes desde un punto a un círculo son iguales, tenemos tanto DN = DL como DN'= DL'. Por ende,

NN' = DN + DN' = DL + DL' = 2DL + LL'

Del mismo modo, tenemos

MM' = KM + KM' = KL + KL'= 2KL' + LL'

Ya que MM '= NN' por simetría, se concluye que KL = DL. Por lo tanto,

MM' = NN' = DL + LL' + KL' = KD

Podemos calcular NN', y por lo tanto KD, en términos de AD y los lados del triángulo:

DN = \dfrac{(AB + AD + BD)}{2} - AB

DN '= \dfrac{(AC + DC + CD)}{2} - AC

Entonces,

NN'= DN + DN' = AD +\dfrac{BC}{2} -\dfrac{AC}{2} -\dfrac{AB}{2}.

Como NN'= KD, tenemos

AD - KD = AK =\dfrac{(AB + AC - AC)}{2},

como se deseeaba. Puesto que A, B, y C son independientes de D, llegamos a la conclusión de que la longitud AK es independiente de D.

[_/su_note]

No leemos la mente

Una solución completa no sólo significa una respuesta correcta. Debes justificar cada paso notable de tu solución. Un lector experimentado nunca debe preguntarse ‘¿Por qué es cierto este paso?’ mientras lee tu solución. Además, tampoco debería quedarle duda de que tú sí entiendes realmente por qué es verdadero ese paso.

No siempre está claro qué pasos puedes suponer que el lector entiende y qué pasos hay que explicar. Aquí algunas pautas:

  1. Si se puede citar un teorema por su nombre, entonces no tienes que demostrar el teorema. Se puede citar el teorema y seguir adelante, como por ejemplo: “Por el Teorema de Pitágoras, AC = 3.”
  2. Si estás muy seguro de que el paso es conocido, pero no sabes el nombre. Puedes decir “Por un teorema conocido, el área de ABC es igual a rs, donde r es el inradio y s es el semiperimetro.’ También podemos omitir el “Por un teorema conocido”, sobre todo en resultados extremadamente comunes, como el que acabamos de enunciar. (Si usted conoces este resultado, intenta probarlo por tu cuenta.)
  3. Si todavía no estás seguro de si se debe demostrar una cierta etapa o asumir que es bien conocida, tienes que tomar una decisión. Si puedes demostrarlo en una o dos líneas, adelante y hazlo. Si te va a tomar un montón de trabajo probarlo, pero sabes cómo hacerlo, entonces por lo menos esboza la demostración (escribe una más a fondo si tienes tiempo). Si no tienes idea de cómo demostrarlo, haz una cita y sigue adelante. Tal vez tengas suerte y sea un “teorema conocido.” Si estás escribiendo un documento educativo y no sabes cómo demostrarlo, a continuación, tu documento no se considera terminado hasta que lo hayas descifrado.
  4. Al escribir una serie de pasos algebraicos, cada paso debe seguir obviamente al anterior. No escriba algo así como, ‘Por lo tanto, tenemos x^2 (x - 4) + (x + 1) 2 + 5x - 4 (x + 2) = -2, por lo tanto x = 1 es la única solución. Debes incluir pasos sencillos y claros que dejen en claro que lo anterior es equivalente a  (x - 1)^3 = 0 .
  5. Puedes invocar simetría o analogía cuando los casos son precisamente los mismos. Por ejemplo, supongamos que desea probar que el área de cualquier triángulo ABC está dada por [ABC]= \dfrac{ab \sin C + bc \sin A + ac \sin B}{6}, donde a = BC, b = AC, c = AB, y [ABC] es el área de ABC. Si demuestra que [ABC] = \dfrac{ab}{2}\sin C, entonces puedes simplemente escribir, “Del mismo modo, tenemos [ABC] =\dfrac{ac}{2}sin B =\dfrac{bc}{2}\sin A
  6. En caso de duda, explicarlo. Muchas de las soluciones que se presentan en este artículo tienen un poco de exageración en ellos. Es mejor demostrar de más que muy poco.

Un problema de ejemplo:

[_su_note note_color=#DDFFDD text_color=”#000000″]

Encuentre todas las soluciones enteras para la ecuación:

(m^2 + 1)(n^2 + 1) + 2(m - n)(1 - mn) = 4(mn + 1) [_/su_note]

Esto es totalmente inaceptable:

[_su_note note_color=#DDDDFF text_color=”#000000″]

(1, 2), (-3, 0), (0, 3), (-2, -1), (1, 0), (-3, 2), (0, -1), (-2, 3) [_/su_note]

Lo anterior es una respuesta, no una solución. Esta “solución” carece de cualquier evidencia de que estas soluciones funcionan realmente, y no muestra que no hay otras soluciones. Por otra parte, no lleva al lector a comprender la solución.

[_su_note note_color=#DDDDFF text_color=”#000000″]

La ecuación dada puede arreglarse como:

(m + 1)(n - 1) = \pm 2

por lo tanto, las soluciones a esta ecuación son:

(1, 2), (-3, 0), (0, 3), (-2, -1), (1, 0), (-3, 2), (0, -1), (-2, 3) [_/su_note]

La solución anterior es mejor que la primera; un lector motivado al menos tiene una luz de camino a la solución, pero no está del todo claro cómo la ecuación original puede re ordenarse en la ecuación dada, ni cómo se obtienen las raíces.

[_su_note note_color=”#DDDDFF” text_color=”#000000″]

Expandimos el primer término y también el lado derecho de la ecuación. Luego reagrupar términos tenemos:

(m^2+ 1)(n^2 + 1) + 2(m - n)(1 - mn) = 4(mn + 1)

m^2n^2+ m^2 + n^2+ 1 + 2(m - n)(1 - mn) = 4mn + 4

m^2n^2- 2mn + 1 + m^2 - 2mn + n^2 + 2(m - n)(1 - mn) = 4

(mn - 1)^2 + (m - n)^2 - 2(m - n)(mn - 1) = 4

El lado izquierdo de esta ecuación es el cuadrado perfecto de (mn - 1) - (m - n), por lo que tenemos:

[(mn - 1 (m - n)]^2 = 4

[mn - m + n - 1]^2 = 4

[(m + 1)(n - 1)]^2 = 4

(m + 1)(n - 1) = \pm 2,

Caso 1: Para (m + 1)(n - 1) = 2 tenemos el siguiente sistema de ecuaciones:

[_su_row]

[_su_column size=”1/4″]

m + 1 = 1

n - 1 = 2

(0, 3)

[_/su_column]

[_su_column size=”1/4″]

m + 1 = 2

n - 1 = 1

(1, 2)

[_/su_column]

[_su_column size=”1/4″]

m + 1 = -1

n - 1 = -2

(-2, -1)

[_/su_column]

[_su_column size=”1/4″]

m + 1 = -2

n - 1 = -1

(-3, 0)

[_/su_column]

[_/su_row]

Caso 2: Para (m + 1)(n - 1) = - 2 tenemos el siguiente sistema de ecuaciones:

[_su_row]

[_su_column size=”1/4″]

m + 1 = 1

n - 1 = - 2

(0, -1)

[_/su_column]

[_su_column size=”1/4″]

m + 1 = - 2

n - 1 = 1

(-3, 2)

[_/su_column]

[_su_column size=”1/4″]

m + 1 = -1

n - 1 = 2

(-2, 3)

[_/su_column]

[_su_column size=”1/4″]

m + 1 = 2

n - 1 = -1

(1, 0)

[_/su_column]

[_/su_row]

Por lo tanto, las soluciones son:

(1, 2), (-3, 0), (0, 3), (-2, -1), (1, 0), (-3, 2), (0, -1), (-2, 3) [_/su_note]

Construye lemas

A menudo, usted tendrá que probar varios elementos preliminares antes de abordar el problema principal. Al escribir una prueba, elegimos separar partes de la demostración principal mediante el etiquetado de cada una de ellas como 'Lema' y delimitando cada lema y su demostración del resto de la solución.

He aquí un problema de muestra con dos soluciones diferentes que emplean lemas. Hemos exagerado un poco la escritura con lemas para destacar lo bien que podemos aclarar soluciones utilizándolos. Ambas soluciones se hacen significativamente más fácil de leer al separarlas en partes.

[_su_note note_color=#DDFFDD text_color="#000000" radius="3" class=""]

Desde el vértice A del triángulo ABC, se dibujan las perpendiculares AM y AN a las bisectrices de los ángulos exteriores del triángulo en B y C respectivamente. Demostrar que MN es igual a la mitad del perímetro de ABC.

[_/su_note]

Veamos dos soluciones a este problema, cada una de ellas realizada con y sin lemas.

Solución 1

Sin
[_su_note note_color=#DDDDFF text_color=”#000000″ radius=”3″ class=””]

lema1

La paralela a BC que pasa por A intersecta a BM en J. La paralela a AB que pasa por J intersecta a BC en K. MN corta a AB y AC en X y Y respectivamente.

Como JK es paralela a AB y AJ es paralela a BK, JKBA es un paralelogramo.

Sabiendo que \angle{ABM} = \dfrac{(\angle{A} + \angle{C})}{2}, del triángulo rectángulo BAM obtenemos:

\angle{BAM} = 90 -\angle{ABM} =\frac{\angle{B}}{2}.

Como AJ es paralela a BC, tenemos que \angle{JAB} = \angle{B}, por lo tanto MA biseca \angle{BAJ}. Entonces, \angle{JAM} = \angle{BAM} y los triángulos BAM y JAM son congruentes. Por lo tanto, AJ = AB y el paralelogramo JKBA es un rombo.

Las diagonales de un rombo también bisecan, por lo que los triángulos AMJ y KMB son congruentes. Por lo tanto, las alturas de M a AJ y BK son iguales y M es equidistante de las líneas AJ y BK. Por simetría, esto también es cierto para N. Por lo tanto, MN es paralela a BC. y MN es equidistante de AJ y BC.

Debido a que MX es paralela a BK, el triángulo AMX es semejante al triángulo AKB. Como AM = AK / 2, tenemos MX = KB / 2. Ya que JKBA es un rombo, KB = AB, de modo que MX = AB / 2, según se buscaba.

Por simetría, también tenemos NY = AC / 2. Como XY es la línea media de ABC paralela al lado BC, tenemos XY = BC / 2. Así,

MN = MX + XY + YN = \dfrac{AB}{2} + \dfrac{AC}{2} + \dfrac{BC}{2} [_/su_note]

Con
[_su_note note_color=#FFFFFF text_color=”#000000″ radius=”3″ class=””]

lema1

La paralela a BC que pasa por A intersecta a BM en J. La paralela a AB que pasa por J intersecta a BC en KMN corta a AB y AC en X y Y respectivamente.

Vamos a demostrar que MX = \dfrac{AB}{2}, XY = \dfrac{BC}{2}, y ZN = \dfrac{AC}{2}, a partir de lo cual se obtiene la solución deseada.

Lema 1: JKBA es un rombo

Demostración: Como JK es paralela a AB y AJ es paralela a BK, JKBA es un paralelogramo.

Sabiendo que \angle{ABM} = \dfrac{(\angle{A} + \angle{C})}{2}, del triángulo rectángulo BAM obtenemos:

\angle{BAM} = 90 -\angle{ABM} =\frac{\angle{B}}{2}.

Como AJ es paralela a BC, tenemos que \angle{JAB} = \angle{B}, por lo tanto MA biseca \angle{BAJ}. Entonces, \angle{JAM} = \angle{BAM} y los triángulos BAM y JAM son congruentes. Por lo tanto, AJ = AB y el paralelogramo JKBA es un rombo.

—- Fin Lema 1 —-

Lema 2: MN es paralela a BC y MN es equidistante de las líneas AJ y BK

Demostración: Las diagonales de un rombo también bisecan, por lo que los triángulos AMJ y KMB son congruentes. Por lo tanto, las alturas de M a AJ y BK son iguales y M es equidistante de las líneas AJ y BK. Por simetría, esto también es cierto para N. Por lo tanto, MN es paralela a BC. y MN es equidistante de AJ y BC.

—- Fin Lema 2 —-

Lema 3: MX = \dfrac{AB}{2}

Debido a que MX es paralela a BK, el triángulo AMX es semejante al triángulo AKB. Como AM = AK / 2, tenemos MX = KB / 2. Ya que JKBA es un rombo (lema 1), KB = AB, de modo que MX = \dfrac{AB}{2}, según se buscaba.

—- Fin Lema 3 —-

Por simetría, también tenemos NY = \dfrac{AC}{2}. Como XY es la línea media de ABC paralela al lado BC, tenemos XY = \dfrac{BC}{2}. Así,

MN = MX + XY + YN = \dfrac{AB}{2} + \dfrac{AC}{2} + \dfrac{BC}{2} [_/su_note]

Solución 2

Sin
[_su_note note_color=#DDDDFF text_color=”#000000″ radius=”3″ class=””]

lema2

 

Las bisectrices de los ángulos externos de B y C se encuentran en E, un excentro del triángulo ABC opuesto al vértice A como se muestra en la figura. Sean P y Q los pies de las perpendiculares desde E a las líneas CA y AB respectivamente. Y sea X el punto de tangencia del excírculo con centro en E al segmento BC.

Dado que E está en la bisectriz del ángulo de <BAC, tenemos del triángulo rectángulo EPA:

<AEP = 90 – <BAC / 2 = (<ABC + <ACB) / 2.

Del triángulo CEB, tenemos

<MEC = <CEB = 180 – <CBE – <BCE.

Dado que E está en la bisectriz del ángulo de <CBQ, tenemos

<CBE = (180 – <ABC) / 2 = 90 – <ABC / 2.

Del mismo modo, <BCE = 90 – <ACB / 2. Sustituyendo estos en nuestra expresión para <MEC obtenemos:

<MEC = (<ABC + <ACB) / 2.

Por lo tanto, <AEP = <MEC.

Ya que

<APE = <ANE = <AQE = <AME,

los puntos N, Q, M y P están en el círculo con AE como diámetro.

Como <AEP = <MEC = <MEN, tenemos AP = MN, ya que subtienden arcos iguales de este círculo.

Como las tangentes a un círculo desde un punto son iguales, tenemos AQ = AP, BX = BQ, y CX = CP. Así,

AC + CX = AC + CP = AP = AQ = AB + BQ = AB + BX

De AC + CX = AB + BX, tenemos

CX = AB – AC + BX = AB – AC + (BC – CX),

CX = (AB + BC – AC) / 2.

Luego,

AP = AC + CP = AC + CX = (AB + BC + AC) / 2.

Como MN = AP, tenemos

MN = AP = (AB + BC + AC) / 2.

[_/su_note]
Con
[_su_note note_color=#FFFFFF text_color=”#000000″ radius=”3″ class=””]

lema2

 

Las bisectrices de los ángulos externos de B y C se encuentran en E, un excentro del triángulo ABC opuesto al vértice A como se muestra en la figura. Sean P y Q los pies de las perpendiculares desde E a las líneas CA y AB respectivamente. Y sea X el punto de tangencia del excírculo con centro en E al segmento BC.

Vamos a demostrar que AP = \dfrac{(AB + BC + AC)}{2}, y que MN = AP, ya que son acordes que subtienden arcos iguales del círculo circunscrito en ANPEQM.

Lema 1:  <= AEP <MEC.

Demostración: Probaremos que ambos son iguales a \dfrac{(<ABC + <ACB)}{2}.

Dado que E está en la bisectriz del ángulo de \angle{BAC}, tenemos del triángulo rectángulo EPA:

\angle{AEP} = 90 - \dfrac{\angle{BAC}}{2} = \dfrac{(\angle{ABC} + \angle{ACB})}{2}.

Del triángulo CEB, tenemos

\angle{MEC} = \angle{CEB} = 180 - \angle{CBE} - \angle{BCE}[latex].</p> <p>Dado que [latex]E está en la bisectriz del ángulo de \angle{CBQ}, tenemos

\angle{CBE} = \dfrac{(180 - \angle{ABC})}{2} = 90 - \dfrac{\angle{ABC}}{2}.

Del mismo modo, \angle{BCE} = 90 - \dfrac{\angle{ACB}}{2}. Sustituyendo estos en nuestra expresión para \angle{MEC} obtenemos:

\angle{MEC} = \dfrac{(\angle{ABC} + \angle{ACB})}{2}.

Por lo tanto, \angle{AEP} = \angle{MEC}.

---- Fin Lema 1 ----

Lema 2: ANPEQM es cíclico.

Demostración: Ya que

\angle{APE} = \angle{ANE} = \angle{AQE} = \angle{AME},

los puntos N, Q, M y P están en el círculo con AE como diámetro.

---- Fin Lema 2 ----

Lema 3: AP = \dfrac{(AB+BC+AC)}{2}

Demostración: Como las tangentes a un círculo desde un punto son iguales, tenemos AQ = AP, BX = BQ, y CX = CP. Así,

AC + CX = AC + CP = AP = AQ = AB + BQ = AB + BX

De AC + CX = AB + BX, tenemos

CX = AB - AC + BX = AB - AC + (BC - CX),

CX = \dfrac{(AB + BC - AC)}{2}.

Luego,

AP = AC + CP = AC + CX = \dfrac{(AB + BC + AC)}{2}.

---- Fin Lema 3 ----

Como \angle{AEP} = \angle{MEC} = \angle{MEN} del Lema 1, tenemos AP = MN ya que subtienden arcos iguales de nuestro circumcírculo de ANPEQM por el Lema 2. Combinando este hecho con el Lema 3 tenemos

MN = AP = \dfrac{(AB + BC + AC)}{2}.

[_/su_note]

Trabaja todos los casos

A veces la solución a un problema se reduce a la investigación de unos pocos casos diferentes. En tu solución, es necesario identificar los casos con claridad y mostrar que estos casos son aplicables a todas las posibilidades.

Veamos un ejemplo.

[_su_note note_color=#DDFFDD text_color="#000000" radius="3" class=""]

¿Cuántos enteros positivos de 3 dígitos son tales que un dígito es igual al producto de los otros 2 dígitos?

[_/su_note]

A continuación se presentan dos soluciones.

No
[_su_note note_color=#DDDDFF text_color=”#000000″ radius=”3″ class=””]

Están los 9 cientos. Está el 248, 284, 482, 428, 824 y 842. Están 339, 933 y 393. Está el 236 y otros cinco como con el 248. Hay también tres números como el 224. También están el 111, 122, 133, 144 y así sucesivamente. Cada uno puede ordenarse de tres maneras excepto por el 111 que sólo puede ser ordenado de una forma. Por lo tanto hay 52.

[_/su_note]

La solución anterior es corta y la respuesta es correcta, pero no está del todo clara que se han descubierto todas los casos. Además, es bastante difícil de ver que hemos encontrado exactamente 52 soluciones. El lector se ve obligado a volver a leer y contar por sí mismo.

La solución a continuación abarca claramente todos los casos posibles y no deja ninguna duda de que el total es 52.

[_su_note note_color=#FFFFFF text_color=”#000000″ radius=”3″ class=””]

Dividimos nuestra investigación de los casos basado en el dígito más pequeño de cada número.

Caso 1: El dígito más pequeño es 0.

Si el dígito más pequeño es 0, entonces el número debe contener un segundo 0. Por lo tanto, este caso consiste en números de la forma n00, donde 1 \leq n \leq 9 es cualquier dígito del 1 al 9. Son, pues, 9 números que satisfacen el problema.

Caso 2: El dígito más pequeño es 1.

Si el dígito más pequeño es 1, el número debe ser de la forma nn1, o permutaciones de esta forma (es decir, n1n o 1NN). Sin embargo, estas permutaciones 3 son la misma cuando n = 1. Por lo tanto, tenemos 3 permutaciones para cada 2 \leq n \leq 9 y sólo 1 para n = 1, para un total de 1 + 3 (8) = 25 números que satisfacen el problema.

Caso 3: El dígito más pequeño es 2.

Si el dígito más pequeño es 2, entonces el número es de la forma 2mn, donde n = 2m, y permutaciones de esta forma. Nuestras únicas opciones aquí son (m, n) = (2,4), lo que nos da 3 números (224, 242, 422), (m, n) = (3,6), lo que nos da 6 números (permutaciones de 236), y (m, n) = (4,8), que también nos da 6 números. Por lo tanto, hay 3 + 6 + 6 = 15 números.

Caso 4: El dígito más pequeño es 3.

Hay 3 soluciones en este caso: 339, 393, 933.

Caso 5: El dígito más pequeño es mayor que 3.

Si el dígito más pequeño es mayor que 3, el producto más pequeño que se puede formar con dos de los dígitos es 4 (4) = 16, que no es un número de un solo dígito. Por lo tanto, no hay números que satisfacen el problema con el dígito más pequeño más grande que 3.

Dado que cada posible número de 3 dígitos cae exactamente en uno de estos casos, llegamos a la conclusión de que hay

9 + 25 + 15 + 3 = 52

números que satisfacen el problema.

[_/su_note]

Revisa tu solución

Comunicar ideas complejas no es fácil y puede ser aún más difícil cuando no se edita la presentación de esas ideas para nuestra audiencia. Vale la pena organizar tu trabajo de manera que sean fáciles de leer para estar seguro de que el público llega el punto, y para asegurarse de que usted está diciendo lo que quiere decir.

Leer, revisa y edita tu trabajo. Puedes hacer crucigramas en pluma, pero vas a cometer errores. Asegurarte de que escribes en forma que expreses tus ideas clara y correctamente es segunda en importancia después de tener la solución correcta.

Asegúrate de que tus ecuaciones y desigualdades utilizan las variables de la forma en que deseas. Que no hayas escrito "abc + bcd" cuando quiere decir "abd + acd." Esto no sólo hace difícil descifrar el resto de tu prueba, si no que también podría estropear tus propios cálculos.

Practica la escritura de pruebas. Todos cometemos errores ocasionales de ortografía o gramática, pero los efectos de los errores se multiplican y muchos de ellos hacen ilegibles ideas que de lo contrario hubieran sido muy buenas. Recuerde que "la repetición es la madre de todas las habilidades."

Problema:

[_su_note note_color=#DDFFDD text_color="#000000" radius="3" class=""] xyz son número reales tales que:

x+y+z=5xy+yz+xz=3

Determinar con pruebas el valor más alto que cualquiera de los tres números puede llegar a tener.

[_/su_note]

A continuación se presentan dos soluciones.

Preliminar
[_su_note note_color=#DDDDFF text_color=”#000000″ radius=”3″ class=””]

Vamos a manipular las ecuasiones dadas para haser uso del hecho d q el cuadrado d cualquier numero real no negativo es:

(x + y)^2 = (5 - z) ^2,

xy = 3 - z (x + y) = 3 - z (5 - z).

Ahora observmos q

0 \leq (x - y)^2 = (x + y)^2 - 4xy.

Sustituimos tanto para x + y y xy. Y nos da una desigualdad que involucra solamente la variable z:

0 \leq (x + y)^2 - 4xy = 25 - 10z + z^2 - 12 + 20z - 4z^2 = -3z^2 + 10z + 13.

Dado que esta des igualdad se cumple para z podemos determinar todos los posibles valores de z:

0 \leq -3z^2 + 10z + 13 = - (z + 1) (3z - 13).

La des igualdad se cumple cuando -1 \leq z \leq \dfrac{13}{3}.

Puesto que las ecua siones dadas para x, y, y z pueden ser manipulados para formar esta misma desigualdad cuadrática en x, y, o z, cada uno tiene valores maximos posibles de \dfrac{13}{3}. Este máximo se puede lograr cuando x = y = \dfrac{1}{3} y z = \dfrac{13}{3}.

[_/su_note]

Es mucho más agradable de leer lo siguiente:

Revisada
[_su_note note_color=#FFFFFF text_color=”#000000″ radius=”3″ class=””]

Vamos a manipular las ecuaciones dadas para hacer uso del hecho de que el cuadrado de cualquier número real no negativo es:

(x + y)^2 = (5 - z) ^2,

xy = 3 - z (x + y) = 3 - z (5 - z).

Ahora observamos que

0 \leq (x - y)^2 = (x + y)^2 - 4xy.

Podemos sustituir tanto para x + y y xy que nos da una desigualdad que implica solamente la variable z:

0 \leq (x + y)^2 - 4xy = 25 - 10z + z^2 - 12 + 20z - 4z^2 = -3z^2 + 10z + 13.

Dado que esta desigualdad se cumple para z podemos determinar todos los posibles valores de z:

0 \leq -3z^2 + 10z + 13 = - (z + 1) (3z - 13).

La desigualdad se cumple cuando -1 \leq z \leq \dfrac{13}{3}.

Puesto que las ecuaciones dadas para x, y, y z pueden ser manipulados para formar esta misma desigualdad cuadrática en x, y, o z, cada uno tiene valores máximos posibles de \dfrac{13}{3}. Este máximo se puede lograr cuando x = y = \dfrac{1}{3} y z = \dfrac{13}{3}.

[_/su_note]

Finaliza tu trabajo

Tenemos varios estantes llenos de libros de matemáticas en nuestras oficinas. Cuando no tenemos sujetalibros en cada extremo, con el tiempo los libros se desordenan y caen. Luego caen más, luego más, y se vuelve una molestia encontrar y recuperar los libros sin derramar los demás por todo el lugar.

Del mismo modo, cuando se tiene una solución complicada, debe colocar “sujetalibros” en su solución para que el lector no se pierda en el camino. Comienzas diciendo lo que vas a hacer, y luego hazlo, a continuación, di lo que hiciste. Explicar el método general antes de desarrollarlo es particularmente importante con técnicas estándar tales como contradicción o de inducción. Por ejemplo, es posible comenzar con, “Vamos a demostrar por contradicción que hay infinitos números primos. Asumimos lo contrario, que hay exactamente n números primos. . . “

Cuando termine su solución, deja en claro que has terminado. Indica el resultado final, que debe decir que hiciste exactamente lo que el problema pidió que hagas, por ejemplo, “Por lo tanto, hemos demostrado por contradicción que hay un número infinito de números primos.”

También se puede decorar el final con adornos visuales tales como “lqqd” o “qd” o \blacksquare o //.

Artículo original en inglés tomado de Art of Problem Solving.