Torneo de las Ciudades


Tournament of the Towns

Турнира Городов

Es un torneo de origen ruso fue creado por el matemático Nikolay Konstantinov y cuenta con participantes de más de 100 ciudades en muchos países diferentes. La primera competición, que tuvo lugar en el año académico 1979-1980, se llama la Olimpiada de tres ciudades. Eran Moscú, Kiev y Riga. La reputación de la competencia creció y al año siguiente, fue llamado Torneo de Ciudades. A pesar de que estuvo cerca de cerrar en sus primeros años de desarrollo, en 1984 ganó reconocimiento cuando se convirtió en un subcomité de la Academia Rusa de Ciencias.

Torneo de Ciudades se diferencia de muchos otros eventos similares por su filosofía de confíar mucho más en el ingenio que en la manipulación. En primer lugar, los problemas son difíciles (especialmente en nivel superior, que son comparables con los de la IMO), pero requieren mucho más ingenio que técnica. En segundo lugar, permite a los participantes elegir los problemas que les gustan como para cada trabajo la puntuación del participante es la suma de sus 3 mejores respuestas.

Los problemas son en su mayoría combinatoria, con apariciones ocasionales de geometría, teoría de números o álgebra. Tienen un sabor diferente a los problemas observados en otros eventos, y suelen ser bastante difícil. Algunos de los problemas que se han convertido en clásicos, en particular, dos del otoño 1984.

Formato del torneo

El torneo se lleva a cabo cada año en dos etapas – otoño y primavera (tiempo hemisferio norte). El año académico del hemisferio sur coincide con esta estructura. Cada etapa tiene dos pruebas, una nivel “O” y una nivel “A”, que están espaciadas más o menos una semana de diferencia. La prueba de nivel A es más difícil, pero ofrece más puntos. Los estudiantes y sus ciudades pueden participar en cualquiera de las etapas o niveles, o en todos los niveles y etapas.

El torneo está abierto a todos los estudiantes de la escuela secundaria. Reciben puntos por sus tres mejores preguntas en cada prueba, y su puntuación anual se basa en su mejor puntuación en cualquiera de los cuatro pruebas del año.

Hay dos versiones de cada prueba, conocidas como Senior y Junior. Los estudiantes en los años 10 y 11 (los dos últimos años de la escuela secundaria en la nomenclatura rusa) se clasifican como participantes de nivel Senior. Para que los estudiantes de año 10 no vean perjudicadas sus puntuaciones se multiplican por 5/4. Los estudiantes más jóvenes, en los años 9 y siguientes participan en nivel Junior. Para asegurarse de que el marcador es justo para todos los niveles de estudiantes, los de año 8 tienen sus puntuaciones multiplicadas por 4/3, Año 7 multiplican por 3/2 y Año 6 o inferiores multiplicado por 2.

La puntuación de un pueblo se basa en el promedio de sus mejores estudiantes N, donde la población de la ciudad es N veces cien mil. Hay un mínimo de N = 5 y en caso de que una población sea inferior a 500.000 entonces la puntuación se multiplica por un factor de compensación apropiada.

Los alumnos que superen un determinado puntaje mínimo se les otorga un diploma de la Academia Rusa de Ciencias.


Es importante recordar a todos los estudiantes que forman nuestro equipo base (convocados a los Selectivos de Enero y Mayo) que esto es parte vital de su ENTRENAMIENTO y se les RECOMIENDA ENCARECIDAMENTE asistir.


Ejemplo de enunciados de ediciones pasadas:

  • On the island of Camelot live 13 grey, 15 brown and 17 crimson chameleons. If two chameleons of different colours meet they both simultaneously change colour to the third colour (e.g. if a grey and a brown chameleon meet each other they both change to crimson). Is it possible that they will eventually all be the same colour? (1984)
  • Prove that among 18 consecutive three digit numbers there must be at least one which is divisible by the sum of its digits. (1984)
  • A 7 by 7 square is made up of 16 (1 by 3) tiles and 1 (1 by 1) tile. Prove that the 1 by 1 tile lies either at the centre of the square or adjoins one of its boundaries. (1984)
  • A machine gives out five pennies for each nickel inserted into it. The machine also gives out five nickels for each penny. Can Peter, who starts out with one penny, use the machine in such a way as to end up with an equal number of nickels and pennies? (1987)
  • We are given 101 rectangles with sides of integer lengths not exceeding 100. Prove that among these 101 rectangles there are 3 rectangles, say A, B and C, such that A will fit inside B and B inside C. (1989)
  • A regular hexagon is divided internally into parallelograms of equal area. Prove that the number of these parallelograms is divisible by three. (1989)
  • Points M and N are taken on the hypotenuse of a right triangle ABC so that BC=BM and AC=AN. Prove that the angle MCN is equal to 45 degrees. (1993)
  • Consider an arbitrary “figure” F (non convex polygon). A chord of F is defined to be a segment which lies entirely within F and whose ends are on the boundary.
    1. Does there exist a chord of F that divides its area in half?
    2. Prove that for any F there exists a chord such that the area of each of the two parts of F is not less than 1/3 of the area of F.
    3. Can the number 1/3 in (b) be changed to a greater one?

    (1994)

  • Prove that the number 40..09 (with at least one zero) is not a perfect square. (1995)
  • Can one paint four points in the plane red and another four points black so that any three points of the same colour are vertices of a parallelogram whose fourth vertex is a point of the other colour? (1996)
  • Several strips and a circle of radius 1 are drawn on the plane. The sum of the widths of the strips is 100. Prove that one can translate each strip parallel to itself so that together they cover the circle. (1997)

 ToT